01 · 数学人生
成果背后的人
格尔德·法尔廷斯出生于当时西德的盖尔森基兴-布尔，1986年获奖时任普林斯顿大学教授。他证明莫德尔猜想：定义在数域上、亏格大于一的光滑射影曲线，在该数域中只有有限多个有理点。证明把曲线与其雅可比阿贝尔簇联系起来，并利用算术几何中的深刻有限性定理。一个原本关于方程求解的问题，因此转化为几何对象如何组织的问题。这项成果革新了丢番图几何，但必须区分“证明解有限”与“实际列出所有解”：原证明本身并不提供适用于一切这类曲线的通用算法。
理解这项贡献
曲线上的有理点，是坐标位于指定数域中的解。不同亏格的曲线会有不同表现：某些曲线可以有无限多个有理点，而复杂到一定程度后就不行。法尔廷斯证明，数域上每条亏格大于一的光滑射影曲线，都只有有限多个这样的点。他通过曲线的雅可比及阿贝尔簇的有限性性质，把几何与算术结合起来。定理排除了无穷无尽地产生解的可能，却不一定说明最后一个解在哪里，也不直接给出有效的搜索上界。
为什么重要
这一证明解决了莫德尔猜想，确立算术几何研究有理数解的强大能力，并影响了超越单个方程的众多有限性问题。